बीजगणित अंकगणित कक्षाओं, इंजीनियरिंग सूत्रों और कंप्यूटर कोड के मूल में है, फिर भी कई लोग इस शब्द को केवल एक स्कूल विषय के रूप में सुनते हैं, यह समझे बिना कि यह कैसे काम करता है। अपने मूल में, बीजगणित संख्याओं के बारे में सामान्य नियमों को लिखने का एक तरीका है जो प्रतीकों का उपयोग करता है, बजाय हर विशिष्ट मामले को लिखने के।
बीजगणित वास्तव में क्या है
शैक्षणिक साइट Mathsisfun के अनुसार, बीजगणित गणित की एक शाखा है जो अक्षरों जैसे x या y को चर के रूप में उपयोग करती है जो ऐसी संख्याओं के लिए खड़े हैं जो अज्ञात हैं या कई मान ले सकती हैं, साथ ही उन प्रतीकों से बने व्यंजकों और समीकरणों को कैसे जोड़ा और परिवर्तित किया जा सकता है इसके नियम के साथ।
Mathsisfun की बुनियादी शर्तों की शब्दावली उन निर्माण खंडों को परिभाषित करती है जो किसी भी बीजगणितीय कथन को बनाते हैं। एक चर एक प्रतीक है, आमतौर पर एक अक्षर जैसे x या y, एक ऐसी संख्या के लिए जो अभी तक ज्ञात नहीं है। एक स्थिरांक एक निश्चित संख्या है, स्वयं में, कोई चर संलग्न नहीं है, जैसे 4x − 7 में −7। एक गुणांक एक संख्या है जो एक चर को गुणा करती है — 4x में 4, उदाहरण के लिए — और एक पद एक अकेली संख्या या चर है, या संख्याओं और चर का एक गुणनफल, जबकि एक व्यंजक जमा या घटा चिन्हों से जुड़े पदों का एक समूह है।
एक समीकरण एक और घटक जोड़ता है: एक बराबर चिन्ह। Mathsisfun के अनुसार, एक समीकरण बताता है कि दोनों व्यंजक बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि चिन्ह के बाईं ओर का मान दाईं ओर के मान से मेल खाना चाहिए, जैसे x + 2 = 6। एक समीकरण को हल करने का मतलब है यह पता लगाना कि चर का कौन सा मान उस कथन को सत्य बनाता है।
शब्द 'बीजगणित' कहाँ से आया
यह शब्द स्वयं 9वीं शताब्दी के बगदाद से वापस जाता है। गणित शिक्षा साइट Mathigon के अनुसार, फारसी विद्वान Muhammad al-Khwarizmi (780–850) Wisdom के घर में काम करते थे और उन्होंने एक किताब लिखी जिसे अंग्रेजी में The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing के रूप में जाना जाता है। यह किताब रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका दिखाती है और Mathigon के अनुसार, सदियों से यूरोपीय विश्वविद्यालयों में उपयोग की जाने वाली मुख्य गणित पाठ्यपुस्तक बन गई।
Mathigon बताता है कि शब्द 'बीजगणित' सीधे al-Khwarizmi की किताब के अरबी शीर्षक से निकला है, और शब्द 'एल्गोरिदम' इसी तरह उनके नाम से निकला है। इस कारण से उन्हें अक्सर बीजगणित का जनक कहा जाता है। St Andrews विश्वविद्यालय का MacTutor History of Mathematics archive, एक संसाधन जिसे गणितज्ञ John O'Connor और Edmund Robertson द्वारा बनाए रखा जाता है, संबंधित ऐतिहासिक विषयों को सूचीबद्ध करता है जिसमें द्विघात, घन और चतुर्थ अंश समीकरणों को हल करना और गणितज्ञ Niccolò Tartaglia और Gerolamo Cardano के बीच 16वीं शताब्दी का विवाद शामिल है घन-समीकरण विधियों पर, इसके सूचकांक पृष्ठ पर और विवरण प्रदान किए बिना।
समीकरणों के प्रकार और उन्हें क्या अलग करता है
प्रत्येक समीकरण को एक ही तरीके से हल नहीं किया जाता है। एक रैखिक समीकरण में एक चर होता है जो केवल पहली घात तक बढ़ाया जाता है (जैसे x + 2 = 6), जबकि एक द्विघात समीकरण में एक चर होता है जो दूसरी घात तक बढ़ाया जाता है (जैसे समीकरण में x²)। Mathigon के अनुसार, al-Khwarizmi की किताब ने व्यवस्थित नियमों का उपयोग करके रैखिक और द्विघात दोनों समीकरणों को हल करने का तरीका दिखाया।
बीजगणित की बुनियादी शब्दावली| शब्द | परिभाषा (Mathsisfun के अनुसार) | उदाहरण |
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| चर | एक ऐसी संख्या के लिए एक प्रतीक जो अभी तक ज्ञात नहीं है | x, y |
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| स्थिरांक | संलग्न प्रतीक के बिना एक निश्चित संख्या | 4x − 7 में −7 |
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| गुणांक | एक संख्या जो एक चर को गुणा करती है | 4x में 4 |
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| पद | एक संख्या, एक चर, या उनका गुणनफल | 4x, या 7 |
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| व्यंजक | जमा या घटा चिन्हों से जुड़े पद, कोई बराबर चिन्ह नहीं | 4x − 7 |
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| समीकरण | एक कथन कि दोनों व्यंजक बराबर हैं | x + 2 = 6 |
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समस्याओं को हल करने के लिए एक चार-चरणीय विधि
शब्दावली से परे, गणित शिक्षा समस्याओं के समाधान के लिए सामान���य रणनीतियों पर निर्भर करती है, न कि केवल समीकरण। सबसे व्यापक रूप से उद्धृत ढांचा हंगेरियाई गणितज्ञ George Pólya द्वारा अपनी किताब How to Solve It में स्थापित किया गया था। The Mathematical Gazette में 1946 में प्रकाशित किताब की समीक्षा, Cambridge University Press के माध्यम से एक्सेस की गई, दर्ज करती है कि पहला संस्करण 204 पृष्ठों तक चलता था, कीमत 16 शिलिंग और 6 पेंस थी, और 1945 में Princeton University Press द्वारा Humphrey Milford के साथ प्रकाशित किया गया था।
Pólya की विधि, जैसा कि University of Kentucky के गणित कोर्स पृष्ठ पर और एक Mathematics LibreTexts संसाधन पर प्रस्तुत की गई है, चार चरणों से मिलकर बनी है। पहला है समस्या को समझना: इसे सावधानीपूर्वक पढ़ना, इसे अपने शब्दों में दोबारा बताना, और यह पहचानना कि क्या दिया गया है और क्या पूछा जा रहा है। दूसरा है एक योजना बनाना, रणनीतियों जैसे एक चित्र बनाना, एक सूची बनाना, एक पैटर्न खोजना, एक चर प्रस्तुत करना, या समस्या को छोटे भागों में विभाजित करना से चुनना।
तीसरा चरण योजना को क्रियान्वित करना है, चुनी गई विधि के माध्यम से काम करना और यदि यह कहीं नहीं पहुंचता है तो योजना पर पुनर्विचार करना। चौथा चरण, वापस देखना, का अर्थ है परिणाम की उचितता की जांच करना, उत्तर को सत्यापित करना, और यह विचार करना कि क्या कोई सरल विधि मौजूद थी या क्या समस्या को सामान्यीकृत किया जा सकता था।
- समस्या को समझें — पहचानें कि क्या दिया गया है और क्या पूछा जा रहा है।
- एक योजना बनाएं — ऐसी रणनीति चुनें जैसे एक चर का उपयोग करना, एक आरेख बनाना, या एक पैटर्न खोजना।
- योजना को क्रियान्वित करें — चुनी गई विधि को चरण दर चरण लागू करें।
- वापस देखें — उचितता के लिए उत्तर की जांच करें और सरल या अधिक सामान्य समाधान पर विचार करें।
केंटकी कोर्स पृष्ठ और LibreTexts संसाधन दोनों इस अनुक्रम को एक सामान्य-उद्देश्य दृष्टिकोण के रूप में प्रस्तुत करते हैं बजाय किसी एक प्रकार के समीकरण तक सीमित एक सूत्र के, जो यह समझाता है कि यह आज गणित शिक्षक प्रशिक्षण सामग्री में क्यों दिखाई देता रहता है।
दोनों ऐतिहासिक धागे एक अज्ञात मान निर्धारित करने के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं: al-Khwarizmi के 9वीं शताब्दी के समीकरणों को पूरा करने और संतुलन करने के नियम, और Pólya की 20वीं शताब्दी की चार-चरणीय प्रक्रिया, प्रत्येक एक बार की चाल होने के बजाय एक दोहराई जा सकने वाली विधि प्रदान करते हैं।
